原创胡乔集智俱乐部
导语
我们生活在平直的三维欧氏空间，时间空间仿佛均匀展开。但你有没有想过，生活在双曲空间，比如庞加莱圆盘上，会是怎样奇妙的体验？事实上，我们的意识、记忆或许是在双曲空间运转，双曲空间是复杂网络背后的几何，爱因斯坦构建狭义相对论的闵可夫斯基时空也是双曲面模型。双曲空间到底是什么样？为何吸引黎曼、庞加莱、克莱因、莫比乌斯等数学巨擘探索？今天，我们共同开启一场双曲空间的跨学科之旅。
研究领域：双曲空间,双曲模型，科学与艺术
胡乔
作者
邓一雪
编辑
1.初识双曲空间
难以想象，如果没有画家埃舍尔，多少人将被艰深的双曲几何拒之门外；幸运的是，埃舍尔的系列作品已成为最佳向导，指引我们通向双曲空间。
圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻（图1）：前者的主要形象是各色的鱼，它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛，紧凑排布在一个圆盘上；后者刻画的是天使和恶魔，黑白对立，排列在同样的圆盘上。好好欣赏这些艺术形象吧，不过我们要宣布：圆盘才是具有魔力的，它使所有的鱼都一样大（天使和恶魔也是如此）。
图1埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ（左）和圆极限Ⅳ（右）
“魔力”圆盘引导我们得到以下发现：
(1)指数增长的空间。圆盘上的每条鱼都一样大，之所以远离中心的鱼看起来小，并不是鱼真的变小，只是因为圆盘在此处“膨胀”了。事实上，圆盘空间是指数级增长的：当半径为r时，圆盘的面积将增长为——圆盘面积=单条鱼的面积鱼的数量，而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式不再适用。
如果来到圆盘边缘，每一条鱼会显得无限小，此时圆盘装下了整个宇宙。
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），这意味着两点之间的最短距离不再是直线，而是向圆盘中心弯曲的曲线。
图2.圆盘上两点的距离（红色实线为最短路径)
图3.圆盘上的三角形（图中三角形角度趋近于0）
三条首尾相接的线段仍然构成三角形，但三角形的内角和不再是度，而是小于度。有多小呢，答案是可以趋于0度！
(2)连续的层级。在圆极限IV上，每位白色天使邻接三个黑色恶魔，恶魔也邻接三位天使，从圆盘中心到边缘层层展开。在圆极限III中，鱼的脊线交织，也形成类似的结构。
这是不是让你想到了无穷分叉的树结构？树结构有一个根节点，从根节点往外层层分叉，节点数量随着层数指数增长。更重要的是，圆盘上的距离也近似于树结构上的距离：在圆盘上，两点间的最短路线偏向圆盘中心（图2中的红色实线）；在树结构上，两节点的最短距离则要经过它们共同的父节点。
图4.树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的）
圆盘和树的区别仅在于：树结构的分支互不相通——如果你走错一个分支就必须先返回到上一层，再去探寻另一条分支；而在圆盘上，你既可以按层级行走（沿着分支），也可以径直走过去，路线更加灵活，但距离是相近的。
至此我们已经初识了圆盘模型，它是指数增长的空间，又可以看作连续的树结构，与欧式空间大不相同——感谢埃舍尔的指引，现在可以正式介绍这个“魔力”圆盘了，它全名叫贝尔特拉米-庞加莱圆盘，也常简称庞加莱圆盘，是双曲空间的一种模型。
身在双曲空间会有何种体验呢？举个例子，在庞加莱圆盘上，当一个物体离开你时，它将很快缩小就像突然消失；而当它靠近你时，又会很快变大就像突然闯入——这是一个飘忽而来飘忽而去的世界。
著名的双曲游戏HyperRogue就借助这个特性设计场景，可想而知，面对飘忽不定的双曲世界，玩家打怪需要更加绷紧神经。
图5.欧式空间（上）与双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏HyperRogue的录屏）
2.细辨双曲模型
尽管庞加莱圆盘已经广为人知，但还远非双曲空间的全部。细致地梳理双曲空间，我们会发现有各种不同的双曲模型，以及模型背后巨擘如云、精彩纷呈的非欧几何史。
曲率、镶嵌、海珊瑚
为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。
图6三种曲率
空间的大小可以用多边形铺贴（在数学中叫做镶嵌）来比较。曲率如何影响空间的大小呢？来看一个例子：下图有三种曲面，左边的是平面，用正六边形可以均匀铺满；中间的是足球形（近似球面），铺满这样的球面要用一些正五边形（黑色）来替代正六边形，从而“节约”了一些面积；而右图中需要填充一些正七边形（黑色）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因而增大了一些面积。
图7曲率与空间的大小
由此可知，正曲率对应的是封闭空间（如球形空间），它使空间收缩（相对于平面）；负曲率对应的是开放式无限空间（如双曲空间）。
你可能会问，负曲率能使空间变得多大呢？首先，曲率有大小：翘曲越多，空间扩张就越多。在下图中，每个交点处拼接了5个正方形，翘曲使得曲面多装下了一块正方形（相比于平面）。如果我们翘曲更多，例如在一点拼接6个正方形（实际不一定可行），空间就会变得更大。
图8翘曲的平面（图片来源于网络)
其次，空间是连续的，在一点处弯曲，邻近的点也跟着弯曲，从单点扩展到区域，整个空间就呈现为指数增长。许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间，从而极大地扩充了体表面积：例如，海珊瑚的尺寸并不大，但如果沿着它的边缘绕上一圈，经过的距离将千百倍的放大。
图9钩针编织的海珊瑚（图片来源于
